House MD and Mathematics

In “Occam's Razor” episode Gregory House MD substantiating his view that the hypothesis explaining the observed symptoms with two diseases is simplier, than a hypothesis based on one but very rare disease, speaks the following statement:

Each one of these conditions is about a thousand to one shot. That means that any two of them happening at the same time is a million to one shot. Chase says that cardiac infection is a 10 million to one shot, which makes my idea 10 times better than yours.

This statement shows that Gregory House is able to multiply two numbers and compare the result with a third one, he also heard something about probability and would like very much to use mathematics, but in spite of his sincere desire he cannot. (Generally, all of this can be probably said about the screenwriter who wrote the above sentence.)

First, House makes the assumption of independence of developing the two diseases, which are suspected in a patient. That does not have to be. For example, without any statistics, I can confidently say that the incidence of Kaposi's sarcoma and toxoplasmosis of the brain are not independent events. House as a doctor should be aware of the possibility of such dependence. Perhaps in the case of specific diseases he suspects, he would defend his assumption about their independence but in episode he did not mention even a word about it, though he certainly should.

Secondly, even if these diseases are independent, we are not considering here the likelihood of developing these diseases with random individuals about which we know nothing. Here we have a specific patient with specific symptoms. So we are dealing with the conditional probability not the ordinary one. Generally probability is used to estimate our ignorance about the specific events if they happen or not. Information we gain about the occurrence of such events as the symptoms change our knowledge and thereby the likelihood we assign incidents. Some symptoms of the disease are very specific and do not give a large area to doubt. Presence of Kaposi's sarcoma mentioned above is the unique basis for the diagnosis of end-stage HIV infection i.e. AIDS. Flu-like symptoms may also result from such a virus infection but may also be due to influenza therefore there is no such unambiguity as in the previous case. Symptoms did not influence on the probability of HIV infection among total population of humans, but they change our assessment of the most likely diagnosis for this specific case. House completely ignored this in his statement.

Let us forget for a moment House's mistake and accept that the incidence of diseases which he suspects are independent events and conditional probabilities with symptoms observed are proportional to those that mentioned the House. Still House's reasoning is erroneous. In the manner described conditional probability of occurrence of both diseases at once cannot be obtained without additional assumptions as a product of the corresponding conditional probabilities. The following examples illustrate this.

We independently draw two real random numbers from 0 to 1. Let the probability distribution in this experiment be uniform. Let the events A and B will be situations in which respectively the first and second number is less than 0.5. Let S be the event a situation in which the sum of two numbers is greater than the 1. Then, of course,

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

while

P (A | S) = P (A ∩ S) / P (S) = (1 / 8) / (1 / 2) = 1 / 4

P (B | S) = P (B ∩ S) / P (S) = (1 / 8) / (1 / 2) = 1 / 4

Exact numbers, moreover, are not meaningful. It is important that these values are nonzero and in the same time:

P (A ∩ B | S) = P (A ∩ B ∩ S) / P (S) = 0 / (1 / 2) = 0

Such a situation would mean a total defeat for the House and his reasoning.

But let us again forget about House's mistakes and assume that conditional probability of occurrence of of both diseases at once he suspects is actually ten times larger than the conditional probability for the disease, which presumed his interlocutor. Is it enough to assume that the procedure proposed by him is ten times better? Not really. Probability is not enough. It is necessary to further assess the risk of taking or not taking certain actions. Let us return to the example cited earlier. If you are experiencing flu-like symptoms that may result from influenza or HIV infection, you will make a HIV-test, despite the fact that the flu is more likely. Decisive for the decision of such actions is the risk to which we are exposed to in case of not making the test. In finance mathematics it is easier because the risk can be expressed quantitatively. The doctor must undertake a quantitative assessment of more difficult to capture factors such as death, disability or chronic pain. In the considered case House ignored it or at least said nothing about such considerations.

The mathematical ignorance of TV series hero would not be something specially terrible if the quoted passage has not become a model reasoning in his book “House and philosophy — everybody lies”. This example is used to illustrate that the simplicity criterion in selection of hypothesis is not always obvious thing. Indeed it is not, but what a pity that the authors of this book do not devote even a few critical sentences to this particular citation.

Dr House i matematyka

W odcinku „Occam's Razor” dr Gregory House uzasadniając swoje zdanie, że jego hipoteza tłumacząca symptomy dwiema chorobami jest prostsza niż hipoteza oparta na jednej ale bardzo rzadkiej chorobie wygłasza następujące stwierdzenie:

Częstość wystąpienia tych dwóch chorób wynosi jeden do tysiąca. To znaczy, że wystąpienie tych dwóch chorób na raz to wydarzenie do którego dochodzi jeden raz na milion przypadków. Chase twierdzi, że szansa na wystąpienie infekcji serca jest jak jeden do dziesięciu milionów. A to czyni moją hipotezę dziesięć razy lepszą od twojej.

Ta wypowiedź świadczy o tym, że dr Gregory House potrafi pomnożyć dwie liczby i porównać wynik z trzecią, słyszał też coś o prawdopodobieństwie i bardzo chciałby posługiwać się matematyką lecz mimo szczerych chęci zupełnie mu to nie wychodzi. (W sumie wszystko to można zapewne powiedzieć również o scenarzyście, który napisał powyższe zdanie.)

Po pierwsze House czyni założenie o niezależności zapadnięcia na dwie choroby, które podejrzewa u pacjenta. Tak być przecież nie musi. Przykładowo bez jakichkolwiek statystyk mogę śmiało stwierdzić, że zachorowania na mięsaka Kaposiego i toksoplazmozę mózgu nie są zdarzeniami niezależnymi. House jako lekarz powinien mieć świadomość możliwości wystąpienia takich zależności. Być może w przypadku chorób podejrzewanych przez House'a dałoby się obronić założenie ich niezależności ale on sam ani słowem o tym nie wspomniał, choć zdecydowane powinien.

Po drugie nawet jeśli choroby te są niezależne to przecież nie rozważamy tutaj prawdopodobieństwa zapadnięcia na te choroby przypadkowej osoby o której nic nie wiemy. Tu mamy konkretnego pacjenta z konkretnymi symptomami. Nie mamy więc do czynienia z prawdopodobieństwem zwykłym tylko warunkowym. Prawdopodobieństwo generalnie służy ocenie naszej niewiedzy na temat zajścia lub nie określonych zdarzeń. Informacja jaką uzyskujemy np. o zajściu zdarzeń takich jak symptomy chorobowe zmienia naszą wiedzę a tym samym prawdopodobieństwa jakie przypisujemy zdarzeniom. Pewne symptomy chorobowe są bardzo specyficzne i nie dają dużego pola do wątpliwości. Wystąpienie wspomnianego wyżej mięsaka Kaposiego dla lekarza jest jednoznaczną podstawą do zdiagnozowania końcowego stadium zakażenia wirusem HIV czyli AIDS. Objawy grypopodobne mogą również wynikać z infekcji takim wirusem ale mogą też być wynikiem grypy zatem takiej jednoznaczności jak w poprzednim przypadku nie ma. Symptomy nie wpłynęły tu na prawdopodobieństwo zakażenia HIV liczone względem całej populacji ale wpłynęły na naszą ocenę najprawdopodobniejszej diagnozy dla tego konkretnego przypadku. Ten element House w swej wypowiedzi zupełnie zignorował.

Jeśli nawet pójść na rękę House'owi i przyjąć, że zachorowalność na dwie choroby stanowiące jego domysł są zdarzeniami niezależnymi a prawdopodobieństwa warunkowe pod warunkiem wystąpienia zaobserwowanych objawów są proporcjonalne do tych, które wymienił House to i tak rozumowanie House'a będzie błędne i w opisany sposób prawdopodobieństwa warunkowego wystąpienia obu chorób na raz jako iloczynu odpowiednich prawdopodobieństw warunkowych uzyskać bez dodatkowych założeń nie można. Obrazują to poniższe przykłady.

Jeśli pewnego wieczoru w trakcie oglądania telewizji dostrzegę zakłócenia i tego samego dnia w moim mieście wystąpi pożar to zdarzenia te mogę oceniać jako niezależne i mogę mnożyć częstość zakłóceń przez częstość pożarów. Jeśli jednak uzyskam pewną wiedzę wyglądając za okno i dostrzegając burzę, to zdarzenia te przestają zachowywać się jak zdarzenia niezależne i iloczyn prawdopodobieństwa zakłóceń podczas burzy oraz prawdopodobieństwa pożaru (np. wywołanego wyładowaniami atmosferycznymi) podczas burzy nie da mi w wyniku prawdopodobieństwa jednoczesnych zakłóceń i pożaru podczas burzy.

Drugi przykład będzie bardziej matematyczny. Losujemy w sposób niezależny dwie liczby rzeczywiste z przedziału od 0 do 1. Rozkład prawdopodobieństwa w tym losowaniu niech będzie równomierny. Niech zdarzeniami A i B będą sytuacje, w których odpowiednio pierwsza i druga liczba jest mniejsza od 0,5. Niech zdarzeniem S będzie sytuacja, w której suma obu liczb jest większa od 1. Wtedy oczywiście

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

a jednocześnie

P(A|S) = P(A ∩ S) / P(S) = (1/8) / (1/2) = 1/4

P(B|S) = P(B ∩ S) / P(S) = (1/8) / (1/2) = 1/4

Dokładne liczby zresztą nie mają większego znaczenia. Ważne, że wartości te są niezerowe podczas gdy:

P(A ∩ B|S) = P(A ∩ B ∩ S) / P(S) = 0 / (1/2) = 0

Taka sytuacja oznaczałaby dla House'a totalną porażkę.

Pójdźmy jednak znów na rękę House'owi i przyjmijmy, że przy zaobserwowanych symptomach prawdopodobieństwo warunkowe wystąpienia obu podejrzewanych przez niego chorób jednocześnie jest rzeczywiście dziesięć razy większe niż prawdopodobieństwo warunkowe dla choroby, którą domniemywa jego rozmówca. Czy to wystarczy by przyjąć, że zaproponowane przez niego postępowanie jest dziesięć razy lepsze? Też nie do końca. Prawdopodobieństwa to nie wszystko. Niezbędna jest jeszcze ocena ryzyka podjęcia lub niepodjęcia określonych działań. Wróćmy do przytoczonego wcześniej przykładu. Jeśli występują objawy grypopodobne mogące wynikać z grypy lub zakażenia wirusem HIV to test na HIV zrobimy mimo tego, że grypa jest bardziej prawdopodobna. Decydujące w zakresie decyzji o takich działaniach jest ryzyko na jakie jesteśmy narażeni w przypadku zaniechania wykonania testu. Matematycy finansowi mają sytuację łatwiejszą ponieważ to czym ryzykują daje się wyrazić ilościowo. Lekarz musi podejmować ocenę trudniejszych do ilościowego uchwycenia czynników takich jak śmierć, kalectwo lub chroniczne bóle. W przywoływanym przypadku House zignorował lub w najlepszym przypadku przemilczał takie rozważania.

W matematycznych nieścisłościach serialowego bohatera nie byłoby w sumie nic strasznego gdyby nie to, że cytowany fragment stał się modelowym rozumowaniem w książce „House i filozofia – wszyscy kłamią”. Przykład ten ma ilustrować, że prostota stanowiąca kryterium wyboru hipotezy nie zawsze jest rzeczą oczywistą. Rzeczywiście nie jest, ale szkoda, że autorzy książki nie poświęcili choćby kilku zdań krytycznych temu właśnie cytatowi.

Kobiety, równość a sprawa demografii

Ostatnio Sąd Najwyższy uraczył nas swym rozstrzygnięciem w kwestii wieku emerytalnego. Rozstrzygnięcie to uważam za zupełnie chybione. Sędziowie (wybitni znawcy prawa) wypowiedzieli się w sposób zupełnie niemerytorycznie na temat, którego meritum leży w innej niż prawo dziedzinie wiedzy.

Tak jak już w komentarzu do debaty wyborczej pisałem emerytura to nie zabawka dla polityków i prawników tylko produkt ubezpieczeniowy z zakresu ubezpieczeń na życie. Jeśli system emerytalny ma działać to w skali ogółu ubezpieczonych wpływy ze wszystkich składek muszą równoważyć wszystkie wydatki.

Jest rzeczą naturalną, że ubezpieczyciel chce różnicować swą ofertę względem różnych grup. Naturalne jest, że w takich grupach długość trwania życia jest różna. Im bardziej jest różna tym bardziej ubezpieczycielom opłaca się różnicowanie wysokości składek. Jak wiadomo średnia długość trwania życia dla kobiet jest wyższa niż u mężczyzn. Z punktu widzenia ubezpieczyciela jest więc oczywiste, że kobiety powinny albo a) płacić wyższe składki albo b) później otrzymywać świadczenia albo c) uzyskiwać niższe świadczenia albo d) powinna zachodzić kombinacja punktów a-c. Taka jest logika ubezpieczyciela.

Wszystko to byłoby bardzo proste ale... tak łatwo nie jest bo istnieją cechy, ze względu na które różnicować ludzi nie wolno (to akurat działka prawników i chyba mądrze to wymyślili). Nie można więc na przykład od czarnoskórych Amerykanów wymagać wyższych składek choć wiadomo, że pewne ryzyka w ich przypadku są statystycznie wyższe i postępowanie takie miałoby uzasadnienie ekonomiczne. Jeśli więc przyjąć, że płeć jest czynnikiem, względem którego różnicować nie wolno to logicznym jest by zarówno wiek uzyskiwania świadczeń jak i inne parametry ubezpieczenia emerytalnego były takie same dla obu płci.

Co zaś orzekł sąd? Orzekł, że niższy (a nie wyższy!) wiek emerytalny dla kobiet jest w porządku i nie narusza zasady równości. W uzasadnieniu zamiast do kwestii merytorycznych sąd odniósł się do ról społecznych. Gdzie tu równość jeśli jednej grupie państwo narzuca jakąś rolę a drugiej inną? Jest to też jawne psucie systemu. Ubezpieczyciel nie powinien wychodzić ze swej roli. Nie może mówić społeczeństwu jak ma żyć. Nie do tego jest powołany. Zasada ta powinna być zachowana również wtedy gdy ubezpieczycielem jest państwo.

Koszt społeczny istniejącej nierówności ponoszą mężczyźni. Paradoksalne jest, że instytucja powołana do tego by strzec zasad sprawiedliwości, utrwala istniejącą niesprawiedliwość. Ci którzy winni zajmować się prawem wypowiadają się w kwestiach przynależnych demografii mieszając w to zagadnienia zupełnie niemerytoryczne.

Plotka o poszłem i przyszłem

Jakiś czas temu dobiegła do mnie pogłoska jakoby Rada Języka Polskiego zaakceptowała formy poszłem i przyszłem. Nie bardzo chciało mi się w to wierzyć, ale cóż, nie pierwszy to raz językowy błąd przekształca się w normę. Dziś jednak trafiłem na stronę wspomnianego organu i znalazłem wypowiedź zadającą kłam tamtej plotce.

Poprawna jest tylko forma poszedłem. Poszłem jest błędem, i to rażącym.
http://www.rjp.pl/?mod=oip&type=inne&id=302&letter=

Łańcuszek

Roześlij gdzie mozesz - to bardzo wazne - poszukiwana jest krew grupy "ARh-" dla umierającego dziecka. Nr. tel 0-604-947-367 Prośba o pomoc

Tej treści SMS otrzymałem wczoraj od przyjaciela, który otrzymał go od znajomej. W pierwszej chwili pomyślałem jaką mam grupę krwi, gdy przypomniałem sobie że nie tę o której mowa pomyślałem komu mogę to wysłać. Już miałem zabierać się za wysyłanie ale na szczęście nadeszła myśl trzecia. Przypomniałem sobie pewną stronę gromadzącą różne niezbyt mądre dowcipy internetowe. Pamiętałem, że widziałem na tamtej stronie podobny apel. Nie pomyliłem się.

http://atrapa.net/chains/krew.htm

Dawno temu (w roku 2002) ktoś kiedyś podobno rzeczywiście krwi szukał. Później zrobiono z tego łańcuszek. Z komentarzy wynika, że ostatnio ktoś na nowo reaktywował ten łańcuszek. Nie sposób bowiem uwierzyć, że przez tyle lat apel ten krąży. Na nagłą reaktywację wskazuje również liczba komentarzy wskazujących na jego wys

Krótka refleksja na temat czasu

Czas – bardzo ciekawa rzecz. Fizycy go mierzą i mierzą, a tak naprawdę czy mierzą w sposób właściwy? Nie są przecież w stanie uniezależnić się od jego upływu. Niepodobna tym samym stwierdzić, że czas płynie tak samo jak wcześniej. Jedyne co widzimy w zakresie czasu to ślady jego upływu. Nasze narzędzia pomiarowe nie są w stanie sięgnąć tego drugiego końca interwału czasowego. Jedyne co podmiot poznający widzi to ślad w swej pamięci, że coś sie zmieniło, że było inaczej niż jest. Pamiętamy, że piasek był w górnej komorze klepsydry a jest w dolnej, że wskazówki stopera były na zerze a już tam nie są. Pamięć jest jakby dodatkowym zmysłem, który jako jedyny mówi nam, że istnieje coś takiego jak upływ czasu. Przekonawszy siebie zmysłowo (w jakimś stopniu), że czas płynie możemy na bazie swych doświadczeń, które pamiętamy (że wahadło się waha, że światło biegnie ze stałą prędkością) planować rejestrowanie i mierzenie tego co nazywamy upływem czasu. U podstaw każdej takiej aktywności leży jednak nasza pamięć – dodatkowy zmysł. Widać więc, że jeśli poddamy w wątpliwość działanie naszej pamięci (bo dlaczego nie mielibyśmy poddać? no dlaczego?) to nawet samo pojęcie czasu przestaje mieć sens.

Zagadka o okrętach

Pewien inżynier zadał mi kiedyś zagadkę o następującej treści: Płyną 4 okręty w równych odległościach każdy od każdego. Pierwszy to kuter, drugi tankowiec, trzeci liniowiec. Jaki jest czwarty okręt? (Ja treść uzupełniłbym o słowa "niezerowych" w odniesieniu do "odległości".) Mojemu rozmówcy wydawało się, że odpowiedź jest jednoznaczna. Stosunkowo łatwo pokazałem mu, że się mylił.

Od tamtego czasu stała się to moja ulubiona zagadka, na przykładzie której tłumaczę czym różni się myślenie matematyczne od myślenia inżynierskiego

Globalizacja pracy

Tekst poniższy zamieściłem na pewnym forum jako moje refleksje na dzień 1 maja.

Żyjemy w epoce globalizacji. Czy nam się to podoba czy nie staje się ona faktem. Wielkie korporacje lokują swe zakłady tam gdzie koszty pracy są mniejsze. To jest jedna strona medalu i tylko tą stronę zdają się dostrzegać przeciwnicy tego procesu. Tymczasem od 1 maja 2004 r. Polacy mają okazję obserwować drugą stronę medalu. Jest to tym ciekawsza obserwacja, że można ją nazwać obserwacją uczestniczącą. Zjawisko będące jej przedmiotem jest niejako odpowiedzią społeczeństwa epoki globalizacji na różnice zarobkowe pomiędzy krajami. Proces migracji zarobkowej jest już na tyle znaczny by można było mówić o jego masowym charakterze. Tak samo jak instytucje korporacyjne w poszukiwaniu taniej siły roboczej są w stanie ponieść znaczne wydatki związane ze zmianą lokalizacji swych zakładów produkcyjnych, tak samo też pracownicy mogą w dzisiejszych czasach ponieść znaczne (w odpowiedniej skali) wydatki związane ze znalezieniem zatrudnienia tam gdzie wynagrodzenie i warunki pracy są lepsze. Tak więc dożyliśmy czasów, że Polacy pracują w Anglii, Irlandii, Niemczech i Holandii, w Polsce pracują Ukraińcy, Białorusini, Wietnamczycy i Chińczycy. Doszło nawet do tego, że na rodzimym rynku pracy nie ma chętnych na zatrudnienie się w ulokowanym przez LG, w naszym kraju zakładzie. Myśli się więc o sprowadzeniu doń pracowników z Chin. Absurd? Czasem rzeczywistość bywa absurdalna. Przez te absurdy widać jednak, że społeczeństwo epoki globalizacji nie jest takie bezbronne jakby wydawało się alterglobalistom i socjalistom takim jak pan Piotr Ikonowicz. W sposób bardziej lub mniej świadomy ludzie pokonują pułapkę ekonomiczną globalizmu jego własną bronią — migracją ekonomiczną.

Zaobserwowaliśmy zjawisko, podsumowaliśmy je. Czas więc zastanowić się co zeń wynika i jakie skutki może przynieść w przyszłości. Dopóki istnieją przeszkody w migracji ludności na świecie problem nierównych szans będzie istniał, jednak bariery takie stopniowo znikają. Oczywiście najpierw znikają bariery dla przedsiębiorców co widać choćby na przykładzie Chin.

Wydaje się, że tym co będzie obrazowało przyszłość są właśnie kraje totalitarne. Jak na razie niektóre z nich wydają się trzymać całkiem mocno. Chiny są krajem, w którym nawet takie medium jak internet jest cenzurowane. Trudno się zresztą dziwić takim działaniom. Świadomość społeczeństwa jest największym zagrożeniem władz w tym kraju.

Cóż jednak będziemy się zamartwiać problemami tego w końcu nie małego narodu? Lepiej wróćmy na nasze podwórko. Mamy bowiem własne problemy. Czy zarobki w kraju mają szansę na szybkie zrównanie się tymi w krajach zachodnich? Czy powinniśmy otwierać granicę na pracowników z Ukrainy? Czy możliwość inwestowania na Ukrainie zagraża interesom Polski? Na ile Polska może wykorzystać te możliwości? (Przykładowo współpracująca z Ericssonem polska spółka Ericpol Telecom już ma swoje oddziały w Meksyku i na Ukrainie).

Inauguracja

Niniejszym chciałbym zainaugurować swojego publicznego bloga. Będzie to swego rodzaju zbiór minifelietonów, myśli którymi chciałbym się podzielić ze światem. Zaznaczyłem, że jest to blog publiczny, ponieważ posiadam również bloga przeznaczonego dla węższego grona czytelników.

Tematy, które w najbliższym czasie chciałbym poruszyć to kwestie mniejszości, sytuacji politycznej w kraju, kwestia posiadania broni i swobód obywatelskich, regulacje prawne w zakresie własności intelektualnej, wpływ gier wideo na społeczeństwo, kościół katolicki w Polsce, prawa rowerzystów na drodze, kwestie dialogu międzyreligijnego oraz dialogu z ateistami, działalność międzynarodowych korporacji, globalizacja, ekologia. Krótko mówiąc tematyka będzie zróżnicowana.